Калькулятор модуля числа: |x|, уравнения и неравенства с модулем

Калькулятор модуля числа

Калькулятор модуля числа вычисляет абсолютное значение |x| и заодно решает главные задачи темы: уравнения с модулем |kx + m| = a и неравенства с модулем |kx + m| < a и |kx + m| > a. Каждый режим показывает пошаговое раскрытие модуля по определению, корни или промежуток ответа и рисунок на числовой прямой — с закрашенными и выколотыми точками.

Модуль встречается в школьной программе дважды: сначала как арифметика абсолютного значения в 6 классе, затем как уравнения и неравенства в ОГЭ и ЕГЭ. Калькулятор закрывает оба уровня: для простого |x| достаточно одного числа, для |2x − 3| = 7 заполните коэффициенты — и получите оба корня с проверкой подстановкой. В отличие от калькуляторов квадратных и кубических уравнений, здесь именно техника раскрытия модуля: две ветки, двойные неравенства и объединения лучей.

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите режим: «Модуль числа |x|», «Уравнение |kx + m| = a», «Неравенство |kx + m| < a» или «Неравенство |kx + m| > a» — набор полей перестроится.
2. Для модуля числа введите само число — оно может быть отрицательным, дробным, с запятой или точкой.
3. Для уравнений и неравенств введите коэффициент k, слагаемое m и правую часть a; при k = 1 и m = 0 получаются простейшие |x| = a, |x| < a, |x| > a.
4. Ответ обновляется сразу: значение, корни или промежуток, пошаговое решение и числовая прямая с решением.
5. Скопируйте ответ кнопкой — вместе с шагами раскрытия модуля.

По каким правилам раскрывается модуль

По определению |x| = x, когда x ≥ 0, и |x| = −x, когда x < 0. Геометрически модуль — это расстояние от точки до нуля, поэтому он никогда не бывает отрицательным. Все правила решения следуют из определения:

Примеры-якоря: |2x − 3| = 7 распадается на 2x − 3 = 7 и 2x − 3 = −7, корни x = 5 и x = −2; при подстановке оба дают модуль 7. Для неравенства |2x − 3| < 7 получаем −7 < 2x − 3 < 7, то есть интервал −2 < x < 5, а для |2x − 3| > 7 — два луча: x < −2 или x > 5. Простейший случай |x − 3| < 5 даёт −2 < x < 8. Если правая часть отрицательная, у уравнения корней нет, а у неравенства со знаком «больше» решение — вся числовая прямая.

Термины простыми словами

• Модуль (абсолютное значение) — расстояние от числа до нуля; |−5| = 5 и |5| = 5.
• Раскрытие модуля — переход от |f| к двум веткам: f = a и f = −a (для уравнения) или к двойному неравенству (для «меньше»).
• Интервал — ответ неравенства вида −2 < x < 5; границы не включаются, на прямой их рисуют выколотыми точками.
• Объединение лучей — ответ вида x < −2 или x > 5: подходят две отдельные части прямой.
• Выколотая точка — граница, которая не входит в ответ строгого неравенства; рисуется кружком с пустой серединой.
• Погрешность — допуск измерения, записываемый через модуль: ±0,5 мм означает отклонение не больше 0,5 мм в обе стороны.

Частые вопросы

Что такое модуль числа простыми словами?

Это расстояние от числа до нуля без учёта направления. Температура −7 °C отличается от нуля на 7 градусов, поэтому |−7| = 7. Формально |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0 — знак просто отбрасывается.

Сколько корней имеет уравнение |x| = 5?

Два: x = 5 и x = −5, потому что на расстоянии 5 от нуля лежат две точки. В общем виде |kx + m| = a при a > 0 даёт корни (a − m)/k и (−a − m)/k; если они совпали — корень один.

Когда у уравнения с модулем нет корней?

Когда правая часть отрицательная: |2x − 3| = −4 не имеет решений, потому что модуль неотрицателен при любом x. Ещё один случай с k = 0: уравнение |3| = 5 превращается в неверное равенство констант 3 = 5 — тоже корней нет.

Как решить неравенство |x − 3| < 5?

Раскрыть в двойное неравенство: −5 < x − 3 < 5, прибавить 3 ко всем частям: −2 < x < 8. Ответ — открытый интервал от −2 до 8, границы не включаются, потому что неравенство строгое.

Чем отличается решение |x| > a от |x| < a?

Неравенство |x| < a при a > 0 отбирает числа «внутри» — между −a и a, получается интервал. Неравенство |x| > a отбирает числа «снаружи» — два луча x < −a и x > a. При a < 0 первое не имеет решений, а второе верно для любого числа.

Полезные калькуляторы

• Калькулятор округления чисел — парный инструмент для работы с числом: до разряда, вверх и вниз.
• Калькулятор квадратных уравнений — когда раскрытие модуля привело к квадратному уравнению.
• Калькулятор степеней — возведение в степень для проверки корней.
• Калькулятор логарифмов — вычисление значений логарифмов по любому основанию.
• Калькулятор уравнений третьей степени — кубические уравнения с пошаговым решением.

Первоисточники

• Школьный курс математики 6 класса: определение модуля числа (учебник Н. Я. Виленкина и др.).
• Уравнения и неравенства с модулем — курс алгебры 8–11 классов (учебник А. Г. Мордковича и др.); приёмы раскрытия модуля классические, нормативов, зависящих от года, нет.